Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán sở GDĐT Đà Nẵng

Giải Chi Tiết Phần I – Mã Đề 0126

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng:

Để tìm khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAB, cần tìm đường thẳng từ D vuông góc với mặt phẳng SAB.

Xét đường thẳng DA:

• DA vuông góc với AB (vì ABCD là hình chữ nhật)
• DA vuông góc với SA (vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy đi qua A, bao gồm DA)

Theo tính chất hình học không gian, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong một mặt phẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đó. Do đó, DA vuông góc với mặt phẳng SAB.

Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAB chính là DA.

Đáp án C: DA

Câu 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y=sin x, y=cos x và các đường thẳng x=0, x=π được tính bằng công thức:

Để tính diện tích hình phẳng, cần xác định vị trí tương đối của hai đường cong y=sin x và y=cos x trong khoảng [0,π].

Hai đường cong cắt nhau tại điểm có tọa độ x = π/4 (vì sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2).

Trên đoạn [0,π/4]: cos x ≥ sin x
Trên đoạn [π/4,π]: sin x ≥ cos x

Do đó, diện tích cần tính là:

• Từ 0 đến π/4: phần nằm giữa hai đường cong là (cos x – sin x)
• Từ π/4 đến π: phần nằm giữa hai đường cong là (sin x – cos x)

Tổng diện tích:
S = ∫₀^(π/4) (cos x – sin x)dx + ∫_(π/4)^π (sin x – cos x)dx = ∫₀^π |sin x – cos x|dx

Đáp án B: S = ∫₀^π |sin x – cos x|dx

Câu 3

Khảo sát thời gian tự học của một số học sinh lớp 11 trong một ngày, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	[0;30)	[30;60)	[60;90)	[90;120)	[120;150)
Số học sinh	8	14	11	9	3

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là:

Tổng số học sinh: 8 + 14 + 11 + 9 + 3 = 45 học sinh

Vị trí của trung vị: (45+1)/2 = 23 (vị trí thứ 23)

Để xác định nhóm chứa trung vị, đếm từ đầu:

• Nhóm [0;30): 8 học sinh (vị trí 1-8)
• Nhóm [30;60): 14 học sinh (vị trí 9-22)
• Nhóm [60;90): 11 học sinh (vị trí 23-33)

Vậy vị trí thứ 23 nằm trong nhóm [60;90).

Đáp án A: [60;90)

Câu 4

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến là:

Mặt phẳng Oyz có phương trình x = 0, tương đương với 1·x + 0·y + 0·z = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là (1,0,0).

Đáp án D

Câu 5

Đồ thị hàm số y = -x+2+1/x có đường tiệm cận xiên là:

Để tìm tiệm cận xiên của hàm số y = -x + 2 + 1/x, viết lại:
y = (-x + 2) + 1/x

Khi |x| → ∞, thì 1/x → 0 và y → -x + 2.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị là y = -x + 2.

Đáp án A: y = -x + 2

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình e^x > 1 là:

Hàm số e^x là hàm đơn điệu tăng với mọi x ∈ ℝ.
e^0 = 1
e^x > 1 khi x > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình e^x > 1 là (0; +∞).

Đáp án D: (0; +∞)

Câu 7

Nghiệm của phương trình log₄x = 0 là:

log₄x = 0 ⟺ x = 4^0 = 1

Đáp án B: x = 1

Câu 8

Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm E(-1;4;2) và điểm F(-5;0;3) là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng EF là:
v⃗ = F – E = (-5,0,3) – (-1,4,2) = (-4,-4,1)

Phương trình tham số của đường thẳng:
(x,y,z) = (-1,4,2) + t·(-4,-4,1), t ∈ ℝ

Chuyển sang dạng phương trình chính tắc:
(x+1)/(-4) = (y-4)/(-4) = (z-2)/1

Đáp án A: (x+1)/(-4) = (y-4)/(-4) = (z-2)/1

Câu 9

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin x là:

∫2sin x dx = -2cos x + C

Đáp án D: -2cos x + C

Câu 10

Cho cấp số cộng (uₙ) có u₁ = 1 và u₂ = -3. Số hạng u₄ của cấp số cộng đã cho là:

Công sai d = u₂ – u₁ = -3 – 1 = -4

Số hạng tổng quát: uₙ = u₁ + (n-1)d = 1 + (n-1)(-4) = 1 – 4(n-1)

Thay n = 4: u₄ = 1 – 4(4-1) = 1 – 4·3 = 1 – 12 = -11

Đáp án A: -11

Câu 11

Cho hàm số y = x³ – 3x² – 2025. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng:

Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x = 3x(x-2)

Hàm số nghịch biến khi y’ < 0, tức là 3x(x-2) < 0

• Khi x < 0: 3x < 0 và (x-2) < 0 nên 3x(x-2) > 0
• Khi 0 < x < 2: 3x > 0 và (x-2) < 0 nên 3x(x-2) < 0
• Khi x > 2: 3x > 0 và (x-2) > 0 nên 3x(x-2) > 0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

Đáp án A: (0;2)

Câu 12

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Gọi α là góc phẳng nhị diện [S,BC,A]. Tính cos α.

Trong tứ diện S.ABC, các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo thành một hệ tọa độ trực chuẩn với gốc S.

Có thể đặt:

• A(1,0,0)
• B(0,1,0)
• C(0,0,1)

Góc α là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC.

Để tính cos α, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng, sau đó dùng công thức:
cos α = |n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|)

Qua tính toán (sử dụng tích có hướng và các công thức hình học không gian), ta được:
cos α = √3/3

Đáp án B: √3/3

Giải Chi Tiết Phần II – Mã Đề 0126

Câu 1: Cho hàm số f(x)=-2x⁴+4x²+1 có đồ thị (C)

a) lim_{x→-∞} f(x)=-∞.

Khi x→-∞, thì x⁴→+∞, nên -2x⁴→-∞
Xét các số hạng:

• -2x⁴: tiến về -∞ (là số hạng chính quyết định giới hạn)
• 4x²: tiến về +∞ nhưng có cấp vô cùng thấp hơn x⁴
• 1: hằng số không ảnh hưởng đến giới hạn

Do đó: lim_{x→-∞} f(x) = -∞

Đáp án: ĐÚNG

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x)=-8x³+8x+1.

Tính đạo hàm:
f(x) = -2x⁴+4x²+1
f'(x) = -2·4x³+4·2x = -8x³+8x

Không có số hạng +1 trong đạo hàm, nên f'(x)=-8x³+8x ≠ -8x³+8x+1

Đáp án: SAI

c) Tập nghiệm của phương trình f'(x)=0 là S={-1;0;1}.

f'(x) = -8x³+8x = -8x(x²-1) = 0
⟺ x = 0 hoặc x² = 1
⟺ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Vậy tập nghiệm S = {-1;0;1}

Đáp án: ĐÚNG

d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) là 1.

Tính giá trị hàm số tại các điểm f'(x) = 0:

• f(-1) = -2·1+4·1+1 = -2+4+1 = 3
• f(0) = -2·0+4·0+1 = 0+0+1 = 1
• f(1) = -2·1+4·1+1 = -2+4+1 = 3

Ngoài ra, lim_{x→±∞} f(x) = -∞ (do số hạng bậc cao nhất là -2x⁴)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 (tại x = -1 và x = 1), không phải là 1.

Đáp án: SAI

Câu 2: Một bể chứa dầu ban đầu có 50.000 lít dầu…

a) Hàm số V(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t)=k·√t.

Theo đề bài, V'(t) = k·√t, nên V(t) chính là nguyên hàm của hàm số f(t) = k·√t.

Đáp án: ĐÚNG

b) V(t)=2k/3·t√t+C, với 0≤t≤24 và k,C là các hằng số.

Ta có: V'(t) = k·√t = k·t^(1/2)
Nguyên hàm:
V(t) = k·∫t^(1/2)dt = k·(t^(3/2))/(3/2)+C = 2k/3·t^(3/2)+C = 2k/3·t√t+C

Đáp án: ĐÚNG

c) Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được 148.000 lít.

Từ điều kiện ban đầu:

• V(0) = 50.000 lít
• V(4) = 58.000 lít

Từ b): V(t) = 2k/3·t√t+C

• V(0) = 50.000 ⟹ C = 50.000
• V(4) = 2k/3·4·2+50.000 = 16k/3+50.000 = 58.000
  ⟹ 8.000 = 16k/3 ⟹ k = 1.500

Vậy V(t) = 1.000·t√t+50.000

Tính V(16):
V(16) = 1.000·16·4+50.000 = 64.000+50.000 = 114.000 lít ≠ 148.000 lít

Đáp án: SAI

d) Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ 500 lít/giờ, thì tại thời điểm t=9 giờ, thể tích dầu trong bể là 72.500 lít.

Nếu không có rò rỉ:
V(9) = 1.000·9·3+50.000 = 27.000+50.000 = 77.000 lít

Lượng dầu rò rỉ trong 9 giờ: 9·500 = 4.500 lít

Vậy thể tích dầu tại t=9 với rò rỉ: 77.000-4.500 = 72.500 lít

Đáp án: ĐÚNG

Câu 3: Một nghiên cứu tại một trường đại học cho biết…

a) Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tinh táo là 0,343.

Xác suất một sinh viên dùng cà phê p = 0,7
Xác suất cả 3 sinh viên đều dùng cà phê: p³ = 0,7³ = 0,343

Đáp án: ĐÚNG

b) Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là 0,657.

Xác suất ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê = 1 – (xác suất cả 3 dùng cà phê)
= 1 – 0,343 = 0,657

Đáp án: ĐÚNG

c) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là 0,189.

Xác suất có đúng 1 sinh viên dùng cà phê:
C₃¹·0,7¹·0,3² = 3·0,7·0,09 = 3·0,063 = 0,189

Đáp án: ĐÚNG

d) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê lớn hơn 0,45.

Xác suất có đúng 2 sinh viên dùng cà phê:
C₃²·0,7²·0,3¹ = 3·0,49·0,3 = 3·0,147 = 0,441

Như vậy 0,441 < 0,45.

Đáp án: SAI

Câu 4: Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ…

a) Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí A.

Khoảng cách từ điểm A(300;-400;100) đến radar O(0;0;0):
d(O,A) = √(300²+(-400)²+100²) = √(90.000+160.000+10.000) = √260.000 = 510 km

Vì radar chỉ phát hiện mục tiêu trong bán kính 250 km < 510 km, nên không thể phát hiện UAV tại A.

Đáp án: ĐÚNG

b) Phương trình tham số của đường bay của UAV là {x=300-3t, y=-400+4t, z=100, t∈ℝ}.

Vector chỉ phương từ A(300;-400;100) đến B(-300;400;100) là:
AB̅ = (-600;800;0)

Vector (-3;4;0) có cùng hướng với AB̅ (tỉ lệ 1:200), nên phương trình tham số:
x = 300 – 3t
y = -400 + 4t
z = 100

Đáp án: ĐÚNG

c) Trong suốt quá trình bay, sẽ có thời điểm UAV gây nhiễu được radar.

Vị trí của UAV tại thời điểm t là M(300-3t;-400+4t;100)
Khoảng cách từ radar đến UAV:
d(O,M) = √((300-3t)²+(-400+4t)²+100²)
= √(90.000-1.800t+9t²+160.000-3.200t+16t²+10.000)
= √(260.000-5.000t+25t²)

Để UAV gây nhiễu radar (trong phạm vi 50 km):
25t²-5.000t+257.500 ≤ 2.500
25t²-5.000t+255.000 ≤ 0

Giải bất phương trình:
Δ = 25.000.000 – 4·25·255.000 = 25.000.000 – 25.500.000 = -500.000 < 0

Bất phương trình vô nghiệm, nên UAV không thể gây nhiễu radar.

Đáp án: SAI

d) Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn 30 phút.

Radar theo dõi được UAV khi khoảng cách ≤ 250 km, tức là:
25t²-5.000t+260.000 ≤ 62.500
25t²-5.000t+197.500 ≤ 0

Δ = 25.000.000 – 4·25·197.500 = 25.000.000 – 19.750.000 = 5.250.000
t₁,₂ = (5.000±√5.250.000)/50 = 100±45,83
t₁ ≈ 54,17 và t₂ ≈ 145,83

Tổng quãng đường bay: 1.000 km
Thời gian bay: 1.000/900 = 1,11 giờ ≈ 66,67 phút
Vậy t = 1 tương ứng 66,67/200 ≈ 0,33 phút

Thời gian radar theo dõi được UAV: (145,83-54,17)·0,33 ≈ 30,25 phút > 30 phút

Đáp án: ĐÚNG

Giải Chi Tiết Phần III – Mã Đề 0126

Câu 1: Tính chiều dài tối thiểu của mỗi cây cọc dựng lều

Một chiếc lều hình chóp có đáy là hình vuông với cạnh 200 cm, đỉnh nằm thẳng đứng trên tâm đáy, và chiều cao lều 206 cm.

Phân tích:

• Gọi S là đỉnh lều, O là tâm đáy, A, B, C, D là các đỉnh của đáy
• Cần tìm chiều dài SA (= SB = SC = SD)

Lời giải:

• Khoảng cách từ tâm đến góc hình vuông:
  OA = OB = OC = OD = 200/2 · √2 = 100√2 cm
• Áp dụng định lý Pythagoras để tính SA:
  SA² = SO² + OA²
  SA² = 206² + (100√2)²
  SA² = 42436 + 20000
  SA² = 62436
  SA = √62436 ≈ 249,87 cm

Làm tròn đến hàng đơn vị: 250 cm

Câu 2: Tính điểm của học sinh ở tháng thứ sáu

Hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c mô tả điểm số của học sinh qua các tháng, với:

• f(1) = 19 (tháng đầu)
• f(3) = 3 (tháng thứ ba, thấp nhất)
• f'(3) = 0 (hàm đạt cực tiểu tại x = 3)

Lời giải:

1. Lập hệ phương trình:
   • f(1) = 1 + a + b + c = 19
   • f(3) = 27 + 9a + 3b + c = 3
   • f'(3) = 27 + 6a + b = 0
2. Từ phương trình 3: b = -27 – 6a
3. Thay vào phương trình 1:
   1 + a + (-27 – 6a) + c = 19
   -5a – 26 + c = 19
   c = 45 + 5a
4. Thay b và c vào phương trình 2:
   27 + 9a + 3(-27 – 6a) + (45 + 5a) = 3
   27 + 9a – 81 – 18a + 45 + 5a = 3
   -4a – 9 = 3
   -4a = 12
   a = -3
5. Tính b và c:
   b = -27 – 6(-3) = -27 + 18 = -9
   c = 45 + 5(-3) = 45 – 15 = 30
6. Hàm số: f(x) = x³ – 3x² – 9x + 30
7. Tính f(6):
   f(6) = 6³ – 3·6² – 9·6 + 30
   f(6) = 216 – 108 – 54 + 30 = 84

Điểm của học sinh ở tháng thứ 6 là 84 điểm.

Câu 3: Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ

Dữ kiện:

• Khinh khí cầu bay ở độ cao z = 50 km, vị trí M(x,y,50)
• Khoảng cách từ M đến vệ tinh:
  • A(103;204;62): MA = 13 km
  • B(106;208;74): MB = 26 km
  • C(105;212;134): MC = 85 km

Lời giải:

1. Lập phương trình từ khoảng cách:
   • (x-103)² + (y-204)² + (50-62)² = 13²
   • (x-106)² + (y-208)² + (50-74)² = 26²
   • (x-105)² + (y-212)² + (50-134)² = 85²
2. Rút gọn:
   • (x-103)² + (y-204)² + 144 = 169
   • (x-106)² + (y-208)² + 576 = 676
   • (x-105)² + (y-212)² + 7056 = 7225
3. Tính toán:
   • (x-103)² + (y-204)² = 25
   • (x-106)² + (y-208)² = 100
   • (x-105)² + (y-212)² = 169
4. Giải hệ phương trình thu được:
   • 3x + 4y = 1100
   • x + 4y = 900
5. Từ đó:
   • 2x = 200
   • x = 100, y = 200
6. Khoảng cách từ M(100,200,50) đến O(0,0,0):
   MO = √(100² + 200² + 50²)
   MO = √(10000 + 40000 + 2500)
   MO = √52500 ≈ 229 km

Câu 4: Tính quãng đường xe mô tô đi được khi hãm phanh

Xe mô tô chuyển động với v(t) = -4t + 20 (m/s).

Lời giải:

1. Thời điểm xe dừng hẳn:
   v(t) = 0
   -4t + 20 = 0
   t = 5 giây
2. Quãng đường xe đi được:
   s = ∫₀⁵ v(t)dt = ∫₀⁵(-4t + 20)dt
   s = [-2t² + 20t]₀⁵
   s = (-2·25 + 20·5) – 0
   s = -50 + 100 = 50 mét

Câu 5: Tìm giá bán để đạt doanh thu tối đa

Dữ kiện:

• Giá p = 10 triệu đồng → bán 600 chiếc
• Giảm giá 0,4 triệu đồng → bán thêm 60 chiếc

Lời giải:

1. Xác định hàm cầu:
   • Độ dốc: Δp/Δx = -0,4/60 = -1/150
   • Qua điểm (600, 10)
   • Phương trình: p = 14 – x/150
2. Hàm doanh thu:
   R(x) = p·x = (14 – x/150)·x = 14x – x²/150
3. Điều kiện cực đại:
   R'(x) = 14 – 2x/150 = 0
   x = 1050 chiếc
4. Giá bán tại doanh thu cực đại:
   p = 14 – 1050/150 = 14 – 7 = 7 triệu đồng

Vậy công ty nên bán máy với giá 7 triệu đồng/chiếc để đạt doanh thu tối đa.

Câu 6: Xác suất bị nhiễm virus khi xét nghiệm dương tính

Dữ kiện:

• 200 học sinh xét nghiệm, 80 học sinh thật sự nhiễm virus
• P(dương tính | nhiễm) = 90%
• P(dương tính | không nhiễm) = 5%

Lời giải:
Dùng công thức Bayes:
P(nhiễm | dương tính) = [P(dương tính | nhiễm) × P(nhiễm)] / P(dương tính)

1. P(nhiễm) = 80/200 = 0,4
   P(không nhiễm) = 1 – 0,4 = 0,6
2. P(dương tính) = P(dương tính | nhiễm)·P(nhiễm) + P(dương tính | không nhiễm)·P(không nhiễm)
   P(dương tính) = 0,9·0,4 + 0,05·0,6 = 0,36 + 0,03 = 0,39
3. P(nhiễm | dương tính) = (0,9·0,4)/0,39 = 0,36/0,39 = 0,923

Làm tròn đến hàng phần trăm: 92%