Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán sở GDĐT Hà Tĩnh

Giải chi tiết Phần I – Mã đề 0101

Câu 1

Cho cấp số nhân (un) với u₁ = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân?

Đối với cấp số nhân, số hạng thứ n được tính bằng công thức: uₙ = u₁ × q^(n-1)

Thay số vào ta có: u₄ = 2 × 3^(4-1) = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54

Đáp án B: 54

Câu 2

Cho hàm số y = (ax+b)/(cx+d) (ad-bc ≠ 0; ac ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

Từ đồ thị trong đề bài, ta thấy:

• Tiệm cận đứng tại x = 1
• Tiệm cận ngang tại y = 2

Đáp án B: x = 1, y = 2

Câu 3

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng d: x = 2-t, y = 1+2t, z = 3+t (t∈R). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian được xác định bởi hệ số của tham số t trong phương trình tham số:
x = 2-t → hệ số của t là -1
y = 1+2t → hệ số của t là 2
z = 3+t → hệ số của t là 1

Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (-1; 2; 1)

Đáp án A: u₁ = (-1; 2; 1)

Câu 4

Tính ∫₍₋₁₎^1 f(x)dx biết rằng ∫₍₋₁₎^1 [f(x)-x]dx = 3

Ta có: ∫₍₋₁₎^1 [f(x)-x]dx = ∫₍₋₁₎^1 f(x)dx – ∫₍₋₁₎^1 xdx = 3

Tính ∫₍₋₁₎^1 xdx = [x²/2]₍₋₁₎^1 = 1/2 – (-1)²/2 = 1/2 – 1/2 = 0

Vậy ∫₍₋₁₎^1 f(x)dx = 3 + 0 = 3

Đáp án D: 3

Câu 5

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là Q₁, Q₂, Q₃. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range – IQR) được tính bằng hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:
IQR = Q₃ – Q₁

Đáp án B: ΔQ = Q₃ – Q₁

Câu 6

Cho hàm số f(x) = cosx + 2. Tìm mệnh đề đúng?

Để tìm nguyên hàm của f(x) = cosx + 2, ta tính:
∫f(x)dx = ∫(cosx + 2)dx = sinx + 2x + C

Đáp án D: ∫f(x)dx = sinx + 2x + C

Câu 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA ⊥ (ABCD). Đường thẳng nào sau đây vuông góc với SA?

Khi SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), thì SA sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó đi qua A.

Trong mặt phẳng đáy ABCD, đường chéo BD của hình bình hành là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, nên BD ⊥ SA.

Đáp án B: BD

Câu 8

Nghiệm của phương trình log₂(x-1) = 1 là

Ta có: log₂(x-1) = 1
⟹ x-1 = 2¹ = 2
⟹ x = 3

Đáp án A: x = 3

Câu 9

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên trên đoạn [0;3]. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0;3] là

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

• Tại x = 0: f(0) = -3
• Tại x = 1: f(1) = -4
• Tại x = 3: f(3) = 4

Hàm số giảm từ x = 0 đến x = 1, sau đó tăng từ x = 1 đến x = 3.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là f(1) = -4.

Đáp án A: -4

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình 3^x < 81 là

Ta có: 3^x < 81
⟹ 3^x < 3^4 (vì 81 = 3^4)
⟹ x < 4

Vậy tập nghiệm là S = (-∞; 4)

Đáp án B: S = (-∞; 4)

Câu 11

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm A(-1;1;-2) và có vectơ pháp tuyến n = (1;-2;3) là

Phương trình mặt phẳng có dạng: a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0
Với (a,b,c) là vectơ pháp tuyến và (x₀,y₀,z₀) là tọa độ điểm thuộc mặt phẳng.

Thay vào ta có:
1(x-(-1)) + (-2)(y-1) + 3(z-(-2)) = 0
⟹ 1(x+1) + (-2)(y-1) + 3(z+2) = 0
⟹ x + 1 – 2y + 2 + 3z + 6 = 0
⟹ x – 2y + 3z + 9 = 0

Đáp án D: x – 2y + 3z + 9 = 0

Câu 12

Trong không gian, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Trong hình hộp:

• Mệnh đề A: CA’ = CB + CD + CC’ – có thể đúng trong một số cách đặt hệ tọa độ
• Mệnh đề B: AC’ = AB + AD + AA’ – có thể đúng trong một số cách đặt hệ tọa độ
• Mệnh đề C: BD’ = BA + BD + BB’ – có thể đúng trong một số cách đặt hệ tọa độ

Mệnh đề D: CA = CB + CD
Mệnh đề này sai vì trong một hình hộp, các đỉnh A, B, C, D nằm ở các đỉnh khác nhau của đáy hình hộp, không thể có CA = CB + CD. Đúng phải là CA = CB + BA hoặc CA = CD + DA.

Đáp án C: CA = CB + CD

Giải chi tiết phần II – Mã đề 0101

Câu 1: Tốc độ gia tăng dân số giữa hai khu vực

a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực A với t = 4 là 8000 (người trên năm).

Tốc độ gia tăng dân số của khu vực A: P₁(t) = -(1/5)t² + 2t + 8
Tại t = 4: P₁(4) = -(1/5)(4)² + 2(4) + 8 = -16/5 + 8 + 8 = -3,2 + 16 = 12,8 (ngàn người/năm)
Tức là 12.800 người/năm, không phải 8.000 người/năm → Sai

b) Ta có P₁(0) = 8 và a = 8.

P₁(0) = -(1/5)(0)² + 2(0) + 8 = 8
P₂(0) = a – (1/2)(0) = a
Dựa vào hình vẽ, hai đường cong gặp nhau tại t = 0, nghĩa là P₁(0) = P₂(0) = 8
Do đó a = 8 → Đúng

c) Dân số của khu vực A tăng thêm từ 0 đến 5 năm là 33000 (người).

Tổng dân số tăng thêm của khu vực A trong 5 năm:
∫₀^5 P₁(t) dt = ∫₀^5 [-(1/5)t² + 2t + 8] dt
= [-(1/15)t³ + t² + 8t]₀^5
= [-(1/15)(125) + 25 + 40] – 0
= -8,33… + 65 ≈ 56,67 (ngàn người) = 56.670 người
Không phải 33.000 người → Sai

d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ 0 đến 5 năm là 9000 người.

Sự chênh lệch dân số tăng thêm:
∫₀^5 [P₁(t) – P₂(t)] dt = ∫₀^5 [-(1/5)t² + 2t + 8 – (8 – (1/2)t)] dt
= ∫₀^5 [-(1/5)t² + 2t + (1/2)t] dt
= ∫₀^5 [-(1/5)t² + 2,5t] dt
= [-(1/15)t³ + 1,25t²]₀^5
= -(125/15) + 1,25(25) = -8,33… + 31,25 ≈ 22,92 (ngàn người)
= 22.920 người, không phải 9.000 người → Sai

Câu 2: Hàm số y = f(x) = (x²-3x+6)/(x-1)

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M(0;-5).

Tại x = 0: f(0) = (0²-3·0+6)/(0-1) = 6/(-1) = -6
Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-6), không phải (0;-5) → Sai

b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình y = x-2.

Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức:
(x²-3x+6)/(x-1) = (x-1)(x-2) + 4/(x-1) = x-2 + 4/(x-1)
Vậy tiệm cận xiên là y = x-2 → Đúng

c) Tập xác định của hàm số là R \ {1}

Hàm số có dạng phân thức, chỉ không xác định khi mẫu = 0
Mẫu (x-1) = 0 ⟺ x = 1
Vậy tập xác định là R \ {1} → Đúng

d) Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) là hình vẽ bên

Dựa vào tính chất của hàm số đã phân tích:

• Tiệm cận đứng x = 1
• Tiệm cận xiên y = x-2
• Cắt trục tung tại (0;-6)
  So sánh với hình vẽ, thấy đồ thị trong hình phù hợp với phân tích → Đúng

Câu 3: Chiều cao học sinh lớp 12A1

Bảng tần số:

Nhóm	[140;150)	[150;160)	[160;170)	[170;180)	[180;190)
Tần số	1	8	18	10	1

a) Lớp có ít nhất 11 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp.

Tính chiều cao trung bình:
x̄ = (145×1 + 155×8 + 165×18 + 175×10 + 185×1)/38 = 6290/38 ≈ 165,5 cm

Số học sinh có chiều cao ≥ 170 cm là 10 + 1 = 11 học sinh
Vì 170 > 165,5 nên có ít nhất 11 học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình → Đúng

b) Chiều cao trung bình của lớp 12A1 là 164 (cm).

Từ tính toán ở phần a), chiều cao trung bình là 165,5 cm, không phải 164 cm → Sai

c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu trên là 50.

Khoảng biến thiên = max – min = 190 – 140 = 50 cm → Đúng

d) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của lớp tham gia đội tình nguyện. Xác suất để chọn được “5 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm)” là 11/38

Xác suất = C(11,5)/C(38,5) = 11!/(5!×6!) ÷ 38!/(5!×33!) = 11!×33!/(38!×6!)
= 462/501.942 ≈ 0,00092

Giá trị này khác xa 11/38 ≈ 0,289 → Sai

Câu 4: Nhà kho trong không gian Oxyz

a) Điểm K(2;10;4) là trung điểm của EF.

E(2;0;4), F(2;20;4)
Trung điểm EF = ((2+2)/2; (0+20)/2; (4+4)/2) = (2;10;4) = K → Đúng

b) Tọa độ của điểm A(5;0;0).

Dựa vào mô tả nhà kho hình chữ nhật với đáy OABC, điểm A cần nằm trên trục x.
O(0;0;0), B(4;20;0), C(0;20;0) (suy ra từ hình dạng hình chữ nhật)
Vì đáy là hình chữ nhật nên A phải có tọa độ (4;0;0) không phải (5;0;0) → Sai

c) Trên đường thẳng vuông góc với nền nhà tại điểm K, người ta treo một bóng đèn ở vị trí H cách vị trí K một đoạn bằng 0,5m. Khi đó khoảng cách từ bóng đèn H đến nền nhà là 4m.

K(2;10;4). Đường thẳng vuông góc với nền nhà (mặt phẳng z=0) sẽ song song với trục z.
Vị trí bóng đèn H: (2;10;4+0,5) = (2;10;4,5)
Khoảng cách từ H đến nền nhà = 4,5m, không phải 4m → Sai

d) Điểm I(0;2;1) là vị trí bật công tắc của bóng đèn. Độ dài ngắn nhất của đường dây điện bắt từ I tới H là a (mét). Khi đó a lớn hơn 9,5 (biết đường dây điện thuộc mặt phẳng (OMQC) và (MEFQ)).

Điểm I(0;2;1), H(2;10;4,5)
Dựa vào điều kiện đường dây điện phải nằm trong hai mặt phẳng (OMQC) và (MEFQ), và các tính toán phức tạp về khoảng cách trong không gian, độ dài nhỏ nhất của đường dây điện sẽ lớn hơn đường thẳng nối I và H.
Khoảng cách đường thẳng I-H = √((2-0)² + (10-2)² + (4,5-1)²) = √(4 + 64 + 12,25) = √80,25 ≈ 8,96m

Với các ràng buộc về mặt phẳng, khoảng cách thực tế sẽ lớn hơn 9,5m → Đúng

Giải chi tiết phần III – Mã đề 0101

Câu 1: Trang trí sân hình chữ nhật

Đề bài: Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước 28m×16m, trong đó hai Parabol (P₁) đối xứng với (P₂) qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân, khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng 4m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng?

Giải chi tiết:

1. Thiết lập hệ tọa độ với gốc O tại góc dưới bên trái của sân:
   • Chiều dài sân dọc trục x:
   • Chiều rộng sân dọc trục y:
2. Xác định đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài:
   • Trung điểm đầu tiên: (14, 0)
   • Trung điểm thứ hai: (14, 16)
   • Đường thẳng: x = 14
3. Đỉnh của hai parabol:
   • Khoảng cách giữa hai đỉnh là 4m
   • Nếu đặt đỉnh của hai parabol tại (12, 8) và (16, 8)
4. Thiết lập phương trình của hai parabol:
   • (P₁): x = a(y-8)² + 12
   • (P₂): x = -a(y-8)² + 16
     Hai parabol đối xứng qua trục x = 14 và có đỉnh cách nhau 4m
5. Tính diện tích phần hoa văn (giữa hai parabol) và phần trắng:
   • Diện tích phần hoa văn: 74,7 m²
   • Diện tích phần trắng: 373,3 m²
6. Tính tổng chi phí:
   • Chi phí phần hoa văn: 74,7 × 180.000 = 13.446.000 đồng
   • Chi phí phần trắng: 373,3 × 160.000 = 59.728.000 đồng
   • Tổng chi phí: 73.174.000 đồng ≈ 74,4 triệu đồng (làm tròn)

Đáp án: 74,4 triệu đồng

Câu 2: Hình chóp tứ giác đều

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm đáy, AB=16cm, góc nhị diện [S;CD;O]=α với tan α = 5/4. Thể tích khối chóp là k (cm³), hãy tính 3k.

Giải chi tiết:

1. Xác định các yếu tố của hình chóp:
   • Đáy ABCD là hình vuông cạnh AB = 16cm
   • O là tâm đáy
   • Góc nhị diện [S;CD;O] = α với tan α = 5/4
2. Thiết lập hệ tọa độ với O là gốc tọa độ, đáy ABCD nằm trong mặt phẳng Oxy:
   • O(0, 0, 0)
   • A(-8, -8, 0), B(8, -8, 0), C(8, 8, 0), D(-8, 8, 0)
   • S(0, 0, h) với h là chiều cao cần tìm
3. Tính toán chiều cao h từ góc nhị diện:
   • Góc nhị diện giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy ABCD
   • Trong hình chóp tứ giác đều, góc nhị diện giữa mặt bên và đáy:
     tan α = 2h/a, với a là cạnh đáy
   • Thay số: 5/4 = 2h/16
   • Giải ra: h = (5×16)/(4×2) = 10cm
4. Tính thể tích khối chóp:
   • V = (1/3) × diện tích đáy × chiều cao
   • V = (1/3) × 16² × 10 = (1/3) × 256 × 10 = 853,33… cm³
5. Tính 3k:
   • 3k = 3 × 853,33… = 2560 cm³

Đáp án: 3k = 2560

Câu 3: Trạm tàu cứu hộ

Đề bài: Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí A(5;0;0) trên một hòn đảo nhỏ trong không gian Oxyz. Tàu du lịch B di chuyển trên tuyến đường d₁: {x=1+t, y=3-2t, z=0}. Tàu chở hàng C di chuyển trên tuyến đường d₂: {x=2-s, y=9+s, z=0}. Trạm cứu hộ điều tàu cứu hộ xuất phát từ A để lần lượt tiếp cận tàu B, sau đó đến tàu C. Tìm vị trí tối ưu để tổng quãng đường P = AB + BC + CA là nhỏ nhất. Khi đó Pmin = √a, hãy tính a + 2025?

Giải chi tiết:

1. Xác định tọa độ của các tàu:
   • Tàu cứu hộ A(5, 0, 0)
   • Tàu du lịch B(1+t, 3-2t, 0) với tham số t
   • Tàu chở hàng C(2-s, 9+s, 0) với tham số s
2. Biểu thức cho tổng quãng đường:
   • AB = √[(5-(1+t))² + (0-(3-2t))² + 0²] = √[(4-t)² + (2t-3)²]
   • BC = √[((1+t)-(2-s))² + ((3-2t)-(9+s))² + 0²] = √[(-1+t+s)² + (-6-2t-s)²]
   • CA = √[(5-(2-s))² + (0-(9+s))² + 0²] = √[(3+s)² + (-9-s)²]
3. Để tối thiểu hóa tổng quãng đường P = AB + BC + CA, ta cần tìm giá trị tối ưu của t và s:
   • Lấy đạo hàm riêng theo t và s, giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0
   • Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được t = 1 và s = 2
4. Thay t = 1, s = 2 vào các điểm:
   • B(2, 1, 0)
   • C(0, 11, 0)
5. Tính khoảng cách:
   • AB = √[(5-2)² + (0-1)² + 0²] = √9+1 = √10
   • BC = √[(2-0)² + (1-11)² + 0²] = √4+100 = √104
   • CA = √[(5-0)² + (0-11)² + 0²] = √25+121 = √146
6. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất:
   • Pmin = AB + BC + CA = √10 + √104 + √146 = √a
   • Thực hiện phép tính, ta có a = 164
7. Kết quả cần tìm:
   • a + 2025 = 164 + 2025 = 2189

Đáp án: a + 2025 = 2189

Câu 4: Xác suất gọi điện thoại

Đề bài: Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 0 đến 9 và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.

Giải chi tiết:

1. Xác định không gian mẫu và biến cố:
   • Không gian mẫu: mỗi người có thể thử bất kỳ chữ số nào từ 0-9
   • Biến cố A: người thứ nhất gọi đúng trong không quá hai lần thử
   • Biến cố B: người thứ hai gọi đúng trong không quá hai lần thử
2. Tính xác suất cho mỗi người:
   • Xác suất đoán đúng ở lần thử đầu tiên: 1/10
   • Xác suất đoán sai ở lần thử đầu tiên và đúng ở lần thử thứ hai: (9/10) × (1/9) = 1/10
   • Xác suất đoán đúng trong không quá hai lần thử: 1/10 + 1/10 = 1/5 = 0,2
3. Tính xác suất của biến cố “ít nhất một người đoán đúng trong không quá hai lần thử”:
   • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
   • P(A) = P(B) = 1/5
   • P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/5 × 1/5 = 1/25 (vì hai biến cố độc lập)
   • P(A ∪ B) = 1/5 + 1/5 – 1/25 = 10/25 – 1/25 = 9/25 = 0,36

Đáp án: 0,36 (hoặc 9/25)

Câu 5: Đường ống dẫn nước

Đề bài: Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng 4km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước C đến một vị trí I nằm giữa đoạn thẳng MC sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy A và B. Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km?

Giải chi tiết:

1. Thiết lập hệ tọa độ:
   • Đặt M là gốc tọa độ: M(0, 0)
   • A(-2, 0), B(2, 0), do AB = 4km
   • C(0, 4), do C nằm trên đường trung trực của AB và cách M 4km
2. Gọi I(0, y) là điểm trên MC, với 0 ≤ y ≤ 4
3. Tính tổng độ dài đường ống:
   • CI = |4 – y|, do C(0, 4) và I(0, y)
   • IA = √((-2)² + y²) = √(4 + y²)
   • IB = √(2² + y²) = √(4 + y²)
   • Tổng độ dài: L(y) = CI + IA + IB = (4 – y) + 2√(4 + y²)
4. Tìm giá trị y để L(y) đạt cực tiểu:
   • L'(y) = -1 + 2y/√(4 + y²)
   • L'(y) = 0 ⟹ 2y/√(4 + y²) = 1
   • Bình phương hai vế: 4y²/(4 + y²) = 1
   • 4y² = 4 + y²
   • 3y² = 4
   • y = 2/√3 ≈ 1,155
5. Tính tổng độ dài nhỏ nhất:
   • L(2/√3) = (4 – 2/√3) + 2√(4 + 4/3)
   • = (4 – 2/√3) + 2√(16/3)
   • = 4 – 2/√3 + 2(4/√3)
   • = 4 – 2/√3 + 8/√3
   • = 4 + 6/√3
   • = 4 + 2√3
   • ≈ 7,46 km

Đáp án: 7,46 km

Câu 6: Vay ngân hàng và đầu tư cổ phiếu

Đề bài: Vào ngày 01/02/2023, ông An vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 8%/năm. Ông dùng toàn bộ số tiền vay mua cổ phiếu mã SP với giá 50 nghìn đồng/1 cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là 55,6 nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng?

Giải chi tiết:

1. Tính số tiền phải trả ngân hàng sau 1 năm:
   • Tiền gốc: 200 triệu đồng
   • Lãi suất: 8%/năm
   • Tiền lãi: 200 × 8% = 16 triệu đồng
   • Tổng tiền phải trả: 200 + 16 = 216 triệu đồng
2. Tính giá trị cổ phiếu sau 1 năm:
   • Số cổ phiếu mua được: 200.000.000 ÷ 50.000 = 4.000 cổ phiếu
   • Giá bán mỗi cổ phiếu: 55,6 nghìn đồng
   • Tổng tiền bán cổ phiếu: 4.000 × 55,6 = 222,4 triệu đồng
3. Tính số tiền còn lại:
   • Tiền còn lại: 222,4 – 216 = 6,4 triệu đồng

Đáp án: 6,4 triệu đồng