Phần I: Trắc nghiệm (12 câu)
Câu 1: Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu
Giải: Từ bảng số liệu, giá trị nhỏ nhất là 10 (đầu khoảng đầu tiên), giá trị lớn nhất là 30 (cuối khoảng cuối cùng).
Khoảng biến thiên R = 30 – 10 = 20
Đáp án D
Câu 2: Góc giữa hai đường thẳng trong hình chóp
Giải: Trong hình chóp S.ABCD với SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SA và BD bằng 90° vì SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), trong đó có BD.
Đáp án A
Câu 3: Công thức tính thể tích khối tròn xoay
Giải: Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là:
V = π∫[a,b] f²(x)dx
Đáp án A
Câu 4: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Giải: Từ đồ thị, ta thấy khi x → ±∞, hàm số tiến đến giá trị y = 1
Đáp án B
Câu 5: Công sai cấp số cộng
Giải: Cho cấp số cộng có u₁ = -3, u₆ = 27
Áp dụng công thức: u₆ = u₁ + 5d
27 = -3 + 5d
⟹ 5d = 30
⟹ d = 6
Đáp án D
Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình mũ
Giải: Bất phương trình: (3/4)²ˣ⁻¹ ≤ (4/3)⁻²⁺ˣ
Logarit hóa hai vế:
(2x-1)log(3/4) ≤ (-2+x)log(4/3)
Vì log(3/4) = -log(4/3), đặt log(4/3) = a > 0
⟹ (2x-1)(-a) ≤ (-2+x)(a)
⟹ -2ax+a ≤ -2a+ax
⟹ -2ax+a+2a-ax ≤ 0
⟹ -3ax+3a ≤ 0
⟹ 3a(1-x) ≤ 0
Vì 3a > 0 nên x ≥ 1
Đáp án C
Câu 7: Véc-tơ trong hình hộp
Giải: Trong hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁, ta xét mệnh đề:
|BA + BB₁ + BC| = |BD₁|
Từ hình vẽ, các véc-tơ BA, BB₁ và BC tạo thành một đường gấp khúc từ B đến D₁, nên tổng của chúng chính là véc-tơ BD₁.
Đáp án C
Câu 8: Họ nguyên hàm của f(x) = x²⁰²⁴
Giải: Nguyên hàm của xⁿ là x^(n+1)/(n+1) + C
Vậy nguyên hàm của x²⁰²⁴ là x²⁰²⁵/2025 + C
Đáp án A
Câu 9: Mặt phẳng với véc-tơ pháp tuyến
Giải: Cho véc-tơ pháp tuyến n = (3;1;-7)
Phương trình mặt phẳng có dạng: 3x + y – 7z + d = 0
Trong các phương án, phương án B phù hợp: 3x + y – 7z – 3 = 0
Đáp án B
Câu 10: Biểu thức logarit
Giải: P = log₂(a²b³), với x = log₂a, y = log₂b
Áp dụng tính chất logarit:
P = log₂(a²b³) = log₂(a²) + log₂(b³) = 2log₂a + 3log₂b = 2x + 3y
Đáp án C
Câu 11: Số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Giải: Đạo hàm f'(x) = x(x²-1)(x-2)² = x(x-1)(x+1)(x-2)²
f'(x) = 0 khi x = 0, x = 1, x = -1, x = 2
Để tìm điểm cực tiểu, ta xét sự thay đổi dấu của f'(x):
- x < -1: f'(x) < 0 (hàm giảm)
- -1 < x < 0: f'(x) > 0 (hàm tăng)
- 0 < x < 1: f'(x) < 0 (hàm giảm)
- 1 < x < 2: f'(x) > 0 (hàm tăng)
- x > 2: f'(x) > 0 (hàm tăng)
Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu tại x = -1 và x = 1
Đáp án C
Câu 12: Điểm thuộc đường thẳng
Giải: Cho đường thẳng d: (x-3)/2 = (y-4)/(-5) = (z+5)/3
Với điểm M(3;4;-5), ta có:
(3-3)/2 = (4-4)/(-5) = (-5+5)/3
0 = 0 = 0 (đúng)
Đáp án B
Phần II: Đúng/Sai
Câu 1: Nguyên hàm của f(x) = 2x² – 3
a) Nếu F(0) = 1 thì F(2) = 1/3 – ĐÚNG
Giải: F(x) = (2/3)x³ – 3x + C
F(0) = 1 ⟹ C = 1
F(2) = (2/3)·8 – 3·2 + 1 = 16/3 – 6 + 1 = 1/3
b) Nếu ∫₀² af(x)dx = 32 thì a = -48 – ĐÚNG
Giải: ∫₀² af(x)dx = a∫₀²(2x² – 3)dx = a[(2/3)x³ – 3x]₀²
= a[(16/3 – 6) – 0] = a(-2/3) = 32
⟹ a = 32·(-3/2) = -48
c) Cho g(x)=(ax²+bx+c)·e³ˣ là nguyên hàm của e³ˣ·f(x)… – ĐÚNG
Khi tính đạo hàm của g(x), ta thấy điều kiện 27m-n=-2 là đúng.
d) Ta có ∫₀² f(x)dx = F(2) – F(0) – ĐÚNG
Đây là định lý cơ bản của giải tích.
Câu 2: Mặt cầu và điểm M
a) Tọa độ tâm của mặt cầu là I(-1;-2;-3) – ĐÚNG
Từ phương trình (x+1)² + (y+2)² + (z+3)² = 14
b) Điểm M nằm trong mặt cầu (S) – ĐÚNG
Khoảng cách từ M(-1;-3;-2) đến I(-1;-2;-3):
IM = √[(0)² + (-1)² + (1)²] = √2 < √14 (bán kính mặt cầu)
c) Khoảng cách từ tâm I đến điểm M là IM = 2 – SAI
IM = √2 ≠ 2
d) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất… – ĐÚNG
Mặt phẳng (P) phải vuông góc với IM và có phương trình y-z+1=0
Câu 3: Xác suất về bóng đèn
a) P(B|A) = 0,02 – SAI
P(B|A) = xác suất bóng không hỏng nếu là bóng trắng = 1-0,02 = 0,98
b) P(Ā) = 0,65 – SAI
P(Ā) = xác suất chọn được bóng đỏ = 0,35
c) P(B) = 0,9765 – ĐÚNG
P(B) = P(A)P(B|A) + P(Ā)P(B|Ā) = 0,65×0,98 + 0,35×0,97 = 0,9765
d) P(B|Ā) = 0,3 – SAI
P(B|Ā) = xác suất bóng không hỏng nếu là bóng đỏ = 1-0,03 = 0,97
Câu 4: Hàm số y = (x² + 3x + 3)/(x+2)
a) Đạo hàm của hàm số y’ = (x² + 4x + 3)/(x+2)² – ĐÚNG
Áp dụng công thức đạo hàm của thương, ta được kết quả trên.
b) Hai điểm A và B nằm ở hai phía của trục tung – SAI
Bằng cách giải phương trình y’=0, ta thấy cả hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung.
c) Đường thẳng AB có phương trình y = 2x + 1 – ĐÚNG
Từ tọa độ hai điểm cực trị, ta tính được phương trình đường thẳng đi qua chúng.
d) Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng Δ – SAI
Kiểm tra tính chất đối xứng cho thấy điều này không đúng.
Phần III: Trả lời ngắn
Câu 1: Động năng dao động điều hòa
Giải:
- x(t) = 40cos(200πt – π/3) (cm)
- v(t) = -40·200π·sin(200πt – π/3) = -8000π·sin(200πt – π/3) cm/s = -80π·sin(200πt – π/3) m/s
- Động năng max khi |sin(200πt – π/3)| = 1:
Wₘₐₓ = (1/2)m·v²ₘₐₓ = (1/2)·0,1·(80π)² = 0,05·6400·π² ≈ 3158 (J)
Đáp án: 3158
Câu 2: Sân vận động Sport Hub Singapore
Tính thể tích không gian bên dưới mái che (hình dạng elip với mái vòm):
- Diện tích nền là elip với trục lớn 150m, trục bé 90m: S = π·75·45 = 10597,5m²
- Thể tích tổng cộng khoảng 115750m³
- Công suất cần thiết: 115750 × 200 = 23150000 BTU
- Số điều hòa cần thiết: 23150000 ÷ 50000 = 463 (làm tròn lên)
Đáp án: 463
Câu 3: Bài toán chẩn đoán bệnh
Áp dụng công thức Bayes:
- P(bệnh|dương tính) = P(dương tính|bệnh)·P(bệnh)/P(dương tính)
- P(bệnh) = 0,01
- P(dương tính|bệnh) = 0,98
- P(dương tính) = 0,98·0,01 + 0,02·0,99 = 0,0098 + 0,0198 = 0,0296
- P(bệnh|dương tính) = 0,98·0,01/0,0296 = 0,0098/0,0296 = 49/148
Đáp án: 49
Câu 4: Bài toán về nguyên tử Argon
Giải: Để tìm khoảng cách d làm thế năng tương tác V(d) đạt cực tiểu, ta giải phương trình V'(d)=0:
V(d) = 4ε[(σ/d)¹² – (σ/d)⁶]
V'(d) = 4ε[(-12σ¹²/d¹³) + (6σ⁶/d⁷)]
V'(d) = 0 ⟹ (-12σ¹²/d¹³) + (6σ⁶/d⁷) = 0
⟹ -12σ¹² + 6σ⁶·d⁶ = 0
⟹ 6σ⁶·d⁶ = 12σ¹²
⟹ d⁶ = 2σ⁶
⟹ d = σ·₆√2 = 3,62·1,122 ≈ 4,06
Đáp án: 4,06
Câu 5: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Giải: Trong hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = (a√6)/2.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là m·a, với m ≈ 0,71.
Đáp án: 0,71
Câu 6: Bài toán mặt cầu và cực tiểu
Giải: Cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x + 2y – 2z – 3 = 0 và điểm A(5;3;-2).
Viết lại phương trình mặt cầu: (x-2)² + (y+1)² + (z-1)² = 9
Tâm mặt cầu I(2,-1,1), bán kính R = 3
Giá trị nhỏ nhất của S = AM + 4AN là 20,2
Đáp án: 20,2
Phần I: Làm các câu dễ trước, các câu khó để sau
Phần II: Xét từng ý riêng biệt, không để sai lầm ở ý trước ảnh hưởng đến ý sau
Phần III: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị/phần trăm/phần mười theo yêu cầu đề bài
Nhớ công thức chính:
Công thức nguyên hàm, tích phân
Công thức xác suất có điều kiện
Công thức khoảng cách trong không gian
- Đọc kỹ đề bài trước khi làm
- Phân bổ thời gian hợp lý cho từng câu; Làm câu dễ trước, câu khó sau
- Kiểm tra kỹ đáp án trước khi nộp bài
TÀI LIỆU LIÊN QUAN
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |