Hướng dẫn giải chi tiết
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN
Câu 1: Nghiệm của phương trình cos x = 1/2
Giải:
- cos x = 1/2 = cos(π/3)
- Các nghiệm của phương trình là: x = π/3 + 2kπ hoặc x = -π/3 + 2kπ (k ∈ Z)
Đáp án C: x = π/3 + k2π, x = -π/3 + k2π (k ∈ Z)
Câu 2: Điểm cực đại của đồ thị hàm số
Giải:
- Quan sát bảng biến thiên, điểm cực đại nằm tại x = -1
- Giá trị cực đại là y = 1
- Tọa độ điểm cực đại là N(-1;1)
Đáp án D: N(-1;1)
Câu 3: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu
Giải:
- Giá trị lớn nhất: 450 triệu đồng
- Giá trị nhỏ nhất: 200 triệu đồng
- Khoảng biến thiên = 450 – 200 = 250 (triệu đồng)
Đáp án C: 250
Câu 4: Thể tích khối tròn xoay
Giải:
- Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành: V = π∫(y²)dx
- Với y = √cos x, y² = cos x
- V = π∫(cos x)dx từ 0 đến π/2 = π[sin x]₀^(π/2) = π(1-0) = π
Đáp án D: π
Câu 5: Xác suất chọn 2 học sinh nữ
Giải:
- Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh: C(5,2) = 10
- Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 3 học sinh nữ: C(3,2) = 3
- Xác suất: P = C(3,2)/C(5,2) = 3/10
Đáp án A: 3/10
Câu 6: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Giải:
- Từ đồ thị, ta thấy hàm số tiến đến giá trị y = 1 khi x tiến đến ±∞
- Vậy tiệm cận ngang có phương trình y = 1
Đáp án A: y = 1
Câu 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2ˣ
Giải:
- Nguyên hàm của 2ˣ là 2ˣ/ln 2 + C
- Kiểm tra: (2ˣ/ln 2 + C)’ = 2ˣ·ln 2/ln 2 = 2ˣ ✓
Đáp án C: ∫f(x)dx = 2ˣ/ln 2 + C
Câu 8: Phương trình mặt cầu (S)
Giải:
- Mặt cầu có tâm I(1;-4;0) và bán kính R = 3
- Phương trình: (x-1)² + (y+4)² + z² = 9
Đáp án C: (x-1)² + (y+4)² + z² = 9
Câu 9: Điểm nằm trên đường thẳng d
Giải:
- Đường thẳng d có phương trình: (x-2)/2 = (y+2)/2 = z/3
- Kiểm tra điểm A(-2;2;0):
(-2-2)/2 = -2, (2+2)/2 = 2, 0/3 = 0
Không thỏa mãn - Kiểm tra điểm B(0;-6;-6):
(0-2)/2 = -1, (-6+2)/2 = -2, -6/3 = -2
Thỏa mãn: -1 ≠ -2, điểm không thuộc đường thẳng - Điểm C(4;0;3): (4-2)/2 = 1, (0+2)/2 = 1, 3/3 = 1
Thỏa mãn: 1 = 1 = 1, điểm thuộc đường thẳng
Đáp án B: C(4;0;3)
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình 4ˣ < 1
Giải:
- 4ˣ < 1
- x·ln 4 < ln 1 = 0
- x < 0 (vì ln 4 > 0)
- Vậy tập nghiệm là (-∞;0)
Đáp án D: (-∞;0)
Câu 11: Số đo góc nhị diện
Giải:
- Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy
- Góc nhị diện [B,SA,D] là góc giữa hai mặt phẳng SBA và SDA
- Do SA vuông góc với đáy, tam giác SAD và SAB đều là tam giác vuông tại A
- Góc nhị diện [B,SA,D] bằng 45° (tương ứng với góc giữa hai đường chéo của hình vuông)
Đáp án D: 45°
Câu 12: Số hạng của cấp số cộng
Giải:
- Cấp số cộng có u₂ = 2 và d = 3
- u₁ = u₂ – d = 2 – 3 = -1
- u₆ = u₁ + (6-1)·d = -1 + 5·3 = -1 + 15 = 14
Đáp án B: 14
PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI
Câu 1: Vi khuẩn Lactic trong sản xuất sữa chua
a) N'(1) = 22·1 – 3·1² = 22 – 3 = 19 triệu tế bào/ml/giờ → ĐÚNG
b) ∫N'(t)dt = ∫(22t – 3t²)dt = 11t² – t³ + C → ĐÚNG
c) Tăng thêm tại t = 5 so với t = 0:
N(5) – N(0) = 11·5² – 5³ – 0 = 11·25 – 125 = 275 – 125 = 150 triệu tế bào/ml
Không phải 35 triệu → SAI
d) Mật độ tại t = 10:
N(10) = N(0) + ∫₀^10 N'(t)dt = 10 + (11·10² – 10³) = 10 + 1100 – 1000 = 110 triệu tế bào/ml
Không phải 100 triệu → SAI
Câu 2: Nồng độ khí CO₂ trong phòng thí nghiệm
a) f(0) = 400 + 2000·0/(0² + 5) = 400 + 0 = 400 ppm → ĐÚNG
b) f'(t) = 2000·(t² + 5 – t·2t)/((t² + 5)²) = 2000(5 – t²)/((t² + 5)²) = -2000t² – 10000/(t² + 5)² → SAI
c) f'(t) = 0 ⟹ 5 – t² = 0 ⟹ t = ±√5
Vì t ≥ 0, nên t = √5 ≈ 2.236 ≠ 2 → SAI
d) Giá trị lớn nhất của hàm f(t) đạt được tại t = √5:
f(√5) = 400 + 2000·√5/((√5)² + 5) = 400 + 2000·√5/(5 + 5) = 400 + 2000·√5/10 = 400 + 200·√5 ≈ 947 ppm → ĐÚNG
Câu 3: Bốc thăm trúng thưởng
a) Xác suất người thứ nhất bốc được vé 5 triệu đồng: 66/100 = 33/50 → ĐÚNG
b) Xác suất người thứ hai bốc được vé 5 triệu đồng, biết người thứ nhất đã bốc được vé 5 triệu đồng: 65/99 → SAI (vì 65/99 = 13/20)
c) Xác suất người thứ hai bốc được vé 5 triệu đồng (không có điều kiện): 66/100 = 33/50 → ĐÚNG
d) Áp dụng công thức Bayes:
P(A₁|B) = P(A₁∩B)/P(B) = P(B|A₁)·P(A₁)/P(B) = (66/100)·(66/99)/(66/100) = 66/99 = 2/3 → SAI
Câu 4: Flycam và thiết bị phá sóng
a) Điểm A có tọa độ (7;3;12) → ĐÚNG
b) Phương trình đường thẳng đi qua A(7;3;12) và B(-5;-2;10):
Véc-tơ chỉ phương: AB⃗AB = (-5-7;-2-3;10-12) = (-12;-5;-2)
Phương trình tham số: (x-7)/(-12) = (y-3)/(-5) = (z-12)/(-2)
Rút gọn: (x-7)/12 = (y-3)/5 = (z-12)/2
So với đề: x = 7+12t, y = 3+5t, z = 12+2t → ĐÚNG
c) Mặt phẳng trung trực của AB có phương trình: (x-xM)·(xB-xA) + (y-yM)·(yB-yA) + (z-zM)·(zB-zA) = 0
Điểm M(2;3;1) không nằm trên mặt phẳng này → SAI
d) Tìm điểm N trên mặt đất (z=0) sao cho NA + NB đạt giá trị nhỏ nhất:
Tính toán cho ra giá trị 25,55m → ĐÚNG
PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Khoảng cách từ O đến B
Giải:
- Tìm phương trình mặt phẳng P qua hai điểm C(-50;-45;0) và D(-20;-60;0)
- Vector pháp tuyến: n⃗n = (-50;-45;0) × (-20;-60;0) = (-2;1;0)
- Phương trình mặt phẳng P: -2x + y = -130
- Hình chiếu vuông góc của A(-30;-30;40) lên P là điểm B
- Khoảng cách OB ≈ 90 (m)
Câu 2: Thể tích tòa nhà
Giải:
- Diện tích mặt cắt ngang tại độ cao z là hình vuông có cạnh L(z)
- L(z) = a·z² + b·z + c
- Với L(0) = 18, L(40) = 18, Lmin = 13 tại z = 20
- Giải ra: L(z) = 0,05z² – 2z + 18
- Thể tích V = ∫₀^40 [L(z)]² dz ≈ 9950 (m³)
Câu 3: Lợi nhuận tối đa
Giải:
- Gọi x, y là số tiền đầu tư vào quỹ A và quỹ B (đơn vị: triệu đồng)
- Lợi nhuận hàng năm: P = 0,15x + 0,07y
- Các ràng buộc:
- x + y ≤ 3000
- y ≥ 400
- x ≤ 2200
- Giải bài toán quy hoạch tuyến tính, ta có x = 2200, y = 800
- Lợi nhuận tối đa: P = 0,15×2200 + 0,07×800 = 330 + 56 = 386 triệu đồng
Câu 4: Tối ưu kích thước chụp đèn
Giải:
- Chi phí vật liệu trung bình: C(x)/T(x) = (x² + 27)/(x + 3)
- Để tối thiểu, ta tính đạo hàm và giải:
[C(x)/T(x)]’ = [(x+3)(2x) – (x² + 27)]/(x+3)² = 0 - Giải ra: x = √27 = 3√3 ≈ 5,2
Câu 5: Xác suất sản phẩm không bị lỗi
Giải:
- Gọi A là sự kiện “sản phẩm bị lỗi”
- Gọi B là sự kiện “cả hai hệ thống đều báo lỗi”
- P(A) = 0,015; P(B|A) = 0,95×0,9; P(B|¬A) = 0,01×0,05
- Cần tính P(¬A|B) = P(¬A∩B)/P(B)
- Bằng công thức Bayes: P(¬A|B) ≈ 0,024
- Vậy a = 2, b = 4, 10a + b = 10×2 + 4 = 24
Câu 6: Thời gian bơm đầy bể
Giải:
- Bể có dạng hình hộp với đáy là mặt phẳng nghiêng
- Chiều dài 30m, chiều rộng 15m, chiều sâu từ 1,2m đến 2,0m
- Thể tích bể: V = 15×30×(1,2+2,0)/2 = 15×30×1,6 = 720 m³
- Tốc độ bơm: 60 m³/giờ
- Thời gian bơm đầy: t = 720/60 = 12 giờ
Nội dung kiến thức: Lượng giác, hình học không gian, hàm số, phương trình, tích phân, xác suất, hình học giải tích không gian, và các bài toán thực tế.
Sử dụng bảng biến thiên để xác định cực trị
Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng chuẩn
Tìm tập nghiệm bất phương trình logarit và mũ bằng tính đơn điệu
2. Hình học không gian
Xác định phương trình đường thẳng trong không gian bằng phương trình tham số
Tìm phương trình mặt phẳng qua 3 điểm hoặc vector pháp tuyến
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hoặc đường thẳng
3. Tích phân và thể tích
Tính thể tích khối tròn xoay bằng phương pháp hình tròn/đĩa
Tính thể tích hình có tiết diện thay đổi bằng tích phân
Ứng dụng tích phân trong các mô hình thực tế
4. Xác suất
Áp dụng công thức xác suất cổ điển P = m/n
Sử dụng công thức Bayes cho xác suất có điều kiện
Phân tích các sự kiện độc lập và phụ thuộc
5. Tối ưu
Tìm cực trị của hàm bằng đạo hàm
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đỉnh
- Đọc kỹ đề bài trước khi làm
- Phân bổ thời gian hợp lý cho từng câu
- Trình bày rõ ràng, sạch sẽ
- Kiểm tra kỹ đáp án trước khi nộp bài
TÀI LIỆU LIÊN QUAN
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |