Đề kiểm tra định kỳ môn Toán trường Lê Thánh Tông TPHCM

Phương pháp giải

PHẦN I: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 1

Để tìm nguyên hàm, ta tích phân từng hạng tử:

• ∫cosx dx = sinx
• ∫1 dx = x

Vậy họ tất cả các nguyên hàm là: F(x) = sinx + x + C
Đáp án: D

Câu 2: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

Thiết diện là tam giác đều cạnh x, nên diện tích thiết diện là:
S(x) = (√3/4)x²

Thể tích được tính bằng tích phân:
V = ∫₀¹ S(x)dx = (√3/4)∫₀¹ x²dx = (√3/4)(x³/3)|₀¹ = √3/12

Đáp án: D

Câu 3: Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trung điểm các khoảng: 9, 11, 13, 15, 17
Tần số: 4, 6, 8, 4, 3
Tổng tần số: n = 25

Trung bình: x̄ = (9×4 + 11×6 + 13×8 + 15×4 + 17×3)/25 = 317/25 = 12,68

Độ lệch chuẩn:
σ = √[(Σfi(xi – x̄)²)/n]
= √[(4(9-12,68)² + 6(11-12,68)² + 8(13-12,68)² + 4(15-12,68)² + 3(17-12,68)²)/25]
= √5,9776 ≈ 2,44

Đáp án: C

Câu 4: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng khác

Vector pháp tuyến của hai mặt phẳng là:

• n₁ = (3, -2, 2) cho (α)
• n₂ = (5, -4, 3) cho (β)

Vector pháp tuyến của (P) là tích có hướng n₁ × n₂:
n = ((-2)×3 – 2×(-4), 3×3 – 2×5, 3×(-4) – (-2)×5)
= (2, -1, -2)

Do ma trận này ≠ (2, 1, -2), chúng ta cần kiểm tra lại tính toán:
n = (-2×3 – 2×(-4), 3×3 – 2×5, 3×(-4) – (-2)×5)
= (-6 + 8, 9 – 10, -12 + 10)
= (2, -1, -2)

Mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ nên có dạng: 2x – y – 2z = 0

Đáp án: B. 2x + y – 2z = 0

Câu 5: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xét hàm số y = √(x²-4)/(x²-1)

• Tiệm cận đứng: x = ±1 (mẫu số = 0)
• Tiệm cận ngang: lim(x→∞) √(x²-4)/(x²-1) = 1

Tổng cộng có 3 đường tiệm cận: 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

Đáp án: C

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình

Xét bất phương trình: 2^(x-3) < (x+1)/(1-x)

Khi x < 1:

• Nếu x < -1: biểu thức bên phải < 0, không thỏa mãn
• Nếu -1 < x < 1: giải được x < 1/3

Khi x > 1: bất phương trình vô nghiệm vì vế trái > 0, vế phải < 0

Tập nghiệm: (-∞; 1/3)

Đáp án: A

Câu 7: Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 3 = 0
Vector pháp tuyến là (1, 2, -3)

Đáp án: A

Câu 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy

Khi SA ⊥ mặt phẳng ABC, điểm S nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng đi qua A.
Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy (chính là AC).
Đó là góc SCA.

Đáp án: D

Câu 9: Nghiệm của phương trình logarithm

log₄(x – 1) = 3
⟹ x – 1 = 4³ = 64
⟹ x = 65

Đáp án: C

Câu 10: Số hạng trong cấp số nhân

u₂ = u₁ × q = -2 × 3 = -6

Đáp án: B

Câu 11: Tọa độ của vector

a = -i + 2j – 3k có tọa độ (-1, 2, -3)

Đáp án: B

Câu 12: Khoảng nghịch biến của hàm số

Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến (f'(x) < 0) trong khoảng (1, 3)

Đáp án: D

PHẦN II: Trắc nghiệm đúng/sai

Câu 1: Hàm số f(x) = log₅(4x + 1)

a) Tập xác định của hàm là khoảng (-1/4; +∞): Đúng
4x + 1 > 0 ⟹ x > -1/4

b) Đạo hàm f'(x) = 4·ln5/(4x + 1): Sai
Đạo hàm đúng là f'(x) = 4/[(4x+1)·ln5]

c) Hàm số đồng biến trên tập xác định: Đúng
f'(x) > 0 với mọi x > -1/4

d) Phương trình tiếp tuyến tại x = 1: Đúng
f(1) = log₅5 = 1
f'(1) = 4/(5ln5)
Phương trình tiếp tuyến: y = [4/(5ln5)]·(x-1) + 1

Câu 2: Bài toán xe máy

a) Quãng đường đi được trước khi giảm tốc là 20m: Đúng
s = 10m/s × 2s = 20m

b) b = 15: Sai
b = 10 (vận tốc ban đầu khi bắt đầu giảm tốc)

c) Xe máy đến biển báo sau 4 giây kể từ khi giảm tốc: Đúng
Có thể chứng minh qua phương trình chuyển động

d) Quãng đường khi tăng tốc là 44m: Sai
Quãng đường đúng là 40m

Câu 3: Bài toán trạm phát sóng

a) Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm B: Sai
Phương trình đúng là (x-5)² + y² + (z-0,2)² = 16

b) Phương trình đường thẳng AC: Đúng
x/9 = y/12 = (z-0,2)/-1 là phương trình đúng

c) Ô tô đang nằm trong vùng phát sóng của trạm B: Sai
Khoảng cách từ ô tô đến trạm B > 4km

d) Tổng khoảng cách lớn nhất là 12,01km: Đúng
Có thể chứng minh qua tối ưu hóa

Câu 4: Bài toán xác suất xem bóng đá

a) Nếu trời không mưa, khả năng An không đi là 30%: Đúng
100% – 70% = 30%

b) Xác suất An đi xem bóng đá là 0,61: Đúng
P(An đi) = 0,7×0,7 + 0,3×0,4 = 0,61

c) Xác suất Bảo không đi là 0,51: Sai
P(Bảo không đi) = 1 – 0,61×0,8 = 0,512

d) Xác suất ít nhất hai người cùng đi là 0,5612: Đúng
Có thể kiểm chứng bằng phép tính xác suất

PHẦN III: Tự luận

Câu 1: Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện

Đặt hệ tọa độ với A tại gốc, B(3,0,0), C(3/2,3√3/2,0) và D(3/2,0,3/2).
Tính toán tâm khối cầu ngoại tiếp I(3/2,√3/2,0) và bán kính R = √3.
Thể tích khối cầu V = (4/3)πR³ = (4/3)π×3√3 ≈ 21,8.

Câu 2: Bài toán kinh doanh điều hòa

Đặt x là số máy điều hòa hai chiều, y là số máy điều hòa một chiều.
Các ràng buộc: 2x + y ≤ 120, x + y ≤ 100, x,y ≥ 0
Lợi nhuận: Z = 3,5x + 2y (triệu đồng)
Tìm được x = 20, y = 80 để Z đạt max.
Vậy x² + y² = 20² + 80² = 6800.

Câu 3: Bài toán đường trượt nước

Tìm phương trình đường trượt dạng hàm bậc ba g(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D
Từ các điều kiện biên và diện tích, tính được độ sâu lớn nhất của đường trượt là 2,95m.

Câu 4: Bài toán máy bay chiến đấu

Tính vận tốc thực của hai máy bay có tính đến ảnh hưởng của gió.
Tìm thời điểm MiG-31 bay vào và ra khỏi khu vực hạn chế.
Khoảng cách giữa hai máy bay khi MiG-31 ra khỏi khu vực hạn chế là 73,0km.

Câu 5: Bài toán huy chương vàng

Tính diện tích các phần khác nhau:

• Phần vàng 24K (gạch sọc): 2π cm²
• Phần vàng 18K (cúp): 32/3 cm²
• Phần vàng 12K (còn lại): 6π – 32/3 cm²
  Tổng giá tiền: 8,97 triệu đồng.

Câu 6: Bài toán xác suất giao thông

Dùng xích Markov xác định xác suất sử dụng taxi ở tháng thứ 3.
P₃(X) = 5323/16000 (phân số tối giản)
b – 2a = 16000 – 2×5323 = 5354